La tabla de verdad es una tabla encargada de mostrar los valores que puede obtenerse de una o varias proposiciones simples y compuesta, es ideal para todos aquellos que estudian lógica proposicional y algebra booleanas. Sin embargo también está el método de Mapas de Karnaugh que siendo muy similar a la tablas de verdad dan los posibles valores de una manera gráfica, por ello en este artículo se explica su definición y como se debe realizar.
Indice De Contenido
Mapa de Karnaugh
El mapa de Karnaugh o mapa-k es unas herramientas de diagrama que se utiliza para la simplificación y minimización de funciones y expresiones algebraicas Booleanas, dando la posibilidad de permitir de manera gráfica reconocer patrones y así minimiza la necesidad de realizar cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas.
Tiene similitudes a una tabla de verdad, ya que se encarga de mostrar todos los posibles valores que se puede presentar las variables de entrada y la salida que se obtienen para cada valor. También se define como una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada.
El número de celdas que posee los mapas de Karnaugh es igual al número total de combinaciones de las variables de entrada, del mismo modo que para una tabla de verdad es utilizada el número de filas, por lo que se puede decir que si un mapa tiene 3 variables, un 2 elevado a la 3 es igual a 8.
Las celdas del mapas de karnaugh se deben marcar de forma de que las celdas horizontales y verticales adyacentes solo tengan diferentes una variable, permitiendo simplificar de una forma sencilla hasta 6 variables.
Características de los Mapas de Karnaugh
Este método cuenta con diversas características que ofrecen una amplia gama de funciones y objetivos:
- Es uno de los métodos utilizados para la minimización de funciones algebraicas booleanas.
- También e conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch.
- Se presenta de una forma abreviada como K-Mapa o KV-Mapa.
- Fue inventado en 1950 por Maurice Karnaugh, físico y matemático de los laboratorios Bell.
- Utilizado también para minimizar expresiones del tipo suma de productos o productos de sumas.
- Se obtiene una suma de productos y otros productos de sumas.
- La expresión obtenida será mínima.
- Se trata de una serie de cuadrados.
- Basado en funciones mecánicas.
- Cada cuadrado constituye una línea de la tabla de verdad.
- En la tabla se despliega el valor de verdad de una proposición compuesta.
- Para cada combinación de valores de verdad se pueden establecer a sus componentes.
- Es una tabla de verdad de una función de N variables.
- Tiene 2N filas.
- Se usa como una extensión de una tabla lógica para lograr optimizar la relación de sus variables ABC, sin tener que alterar su salida Y.
- Debe poseer 2N cuadrados.
- Agrupando dos casillas eliminamos una variable, agrupando cuatro casillas eliminamos dos variables, y así sucesivamente
- Cada cuadrado tiene como componente un 0 ó un 1.
- Depende del valor que toma la función en cada fila.
- Pueden ser utilizadas para funciones de hasta 6 variables.
- Sirven para obtener una función mínima de dos niveles Suma de Productos.
- Esta la opción de que existan varias expresiones distintas, pero equivalentes.
- Cada vez que se agrupa, se eliminan las variables que se complementan..
- Aprovecha que las casillas están en un estado disponible de tal forma que entre una casilla y otra, en forma horizontal o vertical exista una adyacencia lógica.
- En los Mapas de Karnaugh los mintérminos adyacentes, se definen como dos mintérminos que difieren en una variable.
- Cada grupo corresponderá a un término producto, y la expresión final dará un OR (suma) de todos los términos producto.
- Si se combinan las casillas en un mapa de Karnaugh, se agrupa un número de mintérminos, siendo potencia de 2.
- Práctico para funciones de hasta seis variables.
- Cuando se agrupa una mayor cantidad de 1 el término va teniendo menos literales.
- Al agrupar cuatro 1, se eliminan dos variable quedando un término de dos variables y si se agrupa ocho 1 se eliminan tres variable para obtener un término de una variable.
- La función está expresada en forma canónica.
- Se puede obtener un circuito digital que este perfectamente optimizado en las operaciones algebraicas a la electrónica.
- Permite diversas formas validas de realizar la agrupación de agrupar los minterms en los mapas de Karnaugh.
- La elección del mapa adecuado depende el número de variables en la entrada
Procedimiento de los Mapas de Karnaugh.
Este diagrama gráfico matricial cuenta con una serie de pasos a realizar para obtener los resultados esperados, por ello a continuación se presenta los pasos a seguir con esta herramienta:
Primer paso
- Se registra en una tabla lógica las variables ABC.
- La lógica digital se encarga de procesar para obtener el resultado Y requerido.
- Los valores obtenidos son relativamente voluminosos dando más costos de implementación.
- Para simplificar con mapas de Karnaugh se optimiza de forma que se lleva llevamos los valores de la tabla al mapa, ubicando cada 1 de la función ‘Y’ en su coordenada correspondiente .
Segundo paso
- Se define las coordenadas de la matriz.
- Un ejemplo puede ser donde al eje horizontal se define con las variables AB, y al eje vertical con la variable C.
- Las variables deben ser complementarias, por eso se debe marcar las negadas con una línea superior o una comilla simple.
Tercer paso
- Se traslada la matriz las variables ABC de la tabla correspondientes con el valor alto de la salida Y
- Esto se realiza en sus respectivas coordenadas.
- 1 para la coordenada A’BC’; 1 para la coordenada ABC’ y 1 para la A’BC.
- Estos valores reciben el nombre de minterms.
Cuarto paso
- En este caso se debe realizar la simplificación con el mapas de Karnaugh.
- Los minterms contiguos se suman, anulando las variables complementarias.
- En un caso en particular la suma de los minterms de Z elimina la variable A, pues aparece en su forma complementaria.
- Continúa con la operación booleana.
- Para facilitar el procedimiento se define que una variable se elimina cuando se complementa en las sumas.
- Para finalizar se tiene que la suma de Z + X da la combinación abreviada de variables de la tabla de verdad.
- Con este último paso el circuito lógico queda simplificado, cumpliendo con la misma función lógica.
Ventajas de los mapas de Karnaugh
El Ingeniero Maurice Karnaugh estableció en el año 1953 una método o una forma de simplificar y minimizar las funciones mediante la confección de tablas, dando una serie de ventajas que se muestra a continuación:
- Los mapas de karnaugh da la opción de permitir la forma de convertir la tabla de verdad de una ecuación booleana en una forma SOP minimizada.
- Ofrece reglas básicas y sencillas para realizar la simplificación..
- Se destaca por otorgar una mayor facilidad del método
- Permite que sea el procedimiento más rápido y más eficiente que otras técnicas de simplificación en el Álgebra de Boole
Si deseas aprender sobre las señales de seguridad industrial, entonces se recomienda ver el artículo de Conoce los tipos de señales de seguridad industrial, donde se explica su definición y sus características
Reglas de los Mapas de Karnaugh
Para realizar este diagrama se debe cumplir reglas en específica y al pie de la letra, por ello a continuación se muestra una lista de las reglas que se debe de cumplir
- Primero se debe tomar en cuenta que con las agrupaciones o el término a considerar únicamente debe ser con el número “1”.
- Las agrupaciones solo se deben realizar en horizontal y vertical.
- Se debe considerar que con las agrupaciones deben contener 2n elementos, de forma que cada agrupación que contiene cada grupo tendrá 1, 2, 4,8,…, 2n cantidad de número de uno o unos.
- Para obtener una mejor simplificación se debe considerar el grupo más grande posible.
- Es necesario que se deba tomar en cuenta y de considerar todo número “1” .
- Da la posibilidad de solapar grupos de “1”
- La formación de grupos también se pueden producir con las celdas extremas de la tabla.
- Hay que considerar el menor número de agrupaciones o grupos posibles cumpliendo completamente las reglas anteriores.
Pasos para la Simplificación de los Mapas de Karnaugh
Con el método gráfico que ofrece los mapas de Karnaugh se puede simplificar un número de variables de entrada y se recomienda utilizarlo entre 2 y 5 variables. Por ello a continuación se muestra los pasos que se debe seguir para poder realizar esta simplificación de una forma efectiva:
1. Se Dibuja un tabla de karnaugh
- Se posee varias casillas como 2n, siendo “n” el número de variables.
- Como por ejemplo se puede tener que para 2 variables la tabla tendrá 4 casillas, para 3 variables tendrá 8 casillas y para 4 variables tendrá 16 casillas.
- Luego se puede ver cómo quedan las tablas en función del número de variables de entrada.
2. Combinaciones de las variables de entrada
- La finalidad con la tabla obtenida es tener una tabla con todos los estados de la salida sean 0 o 1 para las diferentes combinaciones de las variables de entrada.
- Se tiene por ejemplo, en la tabla para 3 variables
- Se coloca las variables A y B encima de la línea del vértice superior siendo estas las columnas
- En las columnas de la tabla se tiene las posibles combinaciones de esas 2 variables: 00, 01, 11 o 10.
- En la parte de las fila se coloca la otra variable que queda
- La variable C, y sus posibles estados en cada fila que pueden ser 0 o 1.
- Hay que tener el cuidado que los 0 y los 1 de cada variable estén en el orden que aparecen en las tablas obtenidas
- Es obligatorio que al pasar de una combinación a otra en la tabla solo cambie el valor de una de las variables.
3. Relleno de los valores de salida
- Con la tabla o mapa de Karnaugh creada se procede a llenar todos los posibles valores de salida para cada producto de los valores de entrada.
- Se tiene 2 posibilidades, estas son que se tenga la tabla de la verdad o que se tenga la función lógica del circuito
- Generalmente se realiza la tabla de la verdad
- Después se obtiene la función lógica con la tabla de la verdad obtenida
- Si se cuenta con la tabla de la verdad se debe colocar un 0 en el cuadro donde la combinación de las variables de salida el valor 0 en la tabla de la verdad y un 1 en el cuadrado donde la combinación de variables de la salida 1 en la tabla de la verdad,
- En el caso de tener la función lógica, se debe tomar en cuenta que las combinaciones de las variables de los productos de la función son las combinaciones que dan como salida un valor de 1.
4. Agrupación de 1
- Se debe agrupar los 1 de dos en dos, de cuatro en cuatro, de ocho en ocho, entre otros,
- Al agrupar todos los 1 de la tabla se realiza diversos grupos de 1 de 2n,
- Se recomienda realizar la agrupación con la mayor cantidad posible de 1 sin importar que estos pertenezcan a diversas agrupaciones.
- Debe cumplir que las agrupaciones se realicen en vertical o en horizontal y nunca en diagonal
5. Obtención de una nueva función simplificada.
- Se obtiene un término por cada grupo de 1 que es un producto de la suma de productos
- Los productos se suman
- Se obtiene la nueva función simplificada.
- Para obtener el término de la función se debe elegir un grupo de 1 donde a la vez se comprueba si alguna variable cambia de valor
- En el caso de que cambie el valor ya sea de 0 a 1 o de 1 a 0, se debe eliminar esa variable
¿Por qué se debe eliminar las variables que cambian?
Cuando se tenga presente una variable que cambia de valor de valor dentro de un grupo de 1, esa variable multiplica hasta dos veces una invertida y otra no invertida y o que se desea es simplificar la función.
Si deseas conocer todo sobre un condensador eléctrico, entonces se recomienda ver el articulo de Descubre ¿qué un condensador eléctrico? y su función, donde se explica su definición, su función, tipos y su historia para obtener un mayor conocimiento en este tema
Mapas de Karnaugh para simplificar circuitos
A continuación se muestra un vídeo donde se explica cómo realizar una simplificación de circuitos utilizando mapas de karnaugh